Cho biểu thức: B = 2(x + 4) / (x − 3) căn bậc hai của x − 4 + căn bậc hai của x / (căn bậc hai của x + 1) − 8 căn bậc hai của x − 4 với x ≥ 0, x khác 16. Hỏi có bao nhiêu giá trị của x thỏa

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

\(B = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{x - 3\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{\sqrt x - 4}}\)

\( = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{8\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x + 4} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right) - 8\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)

\( = \frac{{2x + 8 + x - 4\sqrt x - 8\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)

\( = \frac{{3x - 12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).

Ta có: \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\sqrt x + 3 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

Vì \(\frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le 3\) nên \(3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \ge 0\).

Suy ra 0 ≤ B < 3.

Để B ∈ ℤ suy ra B ∈ {0; 1; 2}.

Với B = 0 thì \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 0\) suy ra x = 0 (thỏa mãn).

Với B = 1 thì \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 1\) nên \(3\sqrt x = \sqrt x + 1\) suy ra \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Với B = 2 thì \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 2\) nên \(3\sqrt x = 2\sqrt x + 2\) suy ra x = 4 (thỏa mãn)

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,\frac{1}{4};\,\,4} \right\}\) thì biểu thức B có giá trị nguyên.