Cho biểu thức: A=√x−3/√x+3 và B=√x+3/√x−3−5/√x+3−30/x−9 với x≥0,x≠9. (a) Tính giá trị biểu thức A tại x = 36. (b) Rút gọn biểu thức B.

a) Thay \[x = 36\] (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {36\;} - \;3}}{{\sqrt {36} \; + \;3}} = \frac{{6\; - \;3}}{{6\; + \;3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

b) Với \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có:

B = \(\frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}\)

= \(\frac{{{{\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;6\sqrt x \; + \;9\; - \;5\sqrt x \; + \;15\; - \;30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\) = \(\frac{{x\; + \;\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;3\sqrt x \; - \;2\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x \; + \;3} \right)\; - \;2\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{\left( {\sqrt x \; - \;2} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\)

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\) với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9\].

c) Với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9,\] ta có:

\(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}} \cdot \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}} = \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}.\)

Để \(\left| P \right| > P\) hay \(\left| {\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}} \right| > \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) khi và chỉ khi \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) < 0

Mà \(\sqrt x + 3\) \( \ge \) 3 > 0 với mọi \(x \ge 0,\;x \ne 9\) nên \(\sqrt x - 2\) < 0 hay x < 4.

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có 0 ≤ x < 4 thỏa mãn \(\left| P \right| > P\).

Khi đó giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\) là x = 3 .

Vậy x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\).