Cho biểu thức A=tanα−sinα/cosα−1⋅tan(90∘−α) với 0∘<α<90∘. Rút gọnA.

8/22

Cho biểu thức \(A = \frac{{{\rm{tan}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} \cdot {\rm{tan}}\left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right)\) với \({0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }\). Rút gọnA.

\(A = 1\).

\(A = - 1\).

\(A = {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha \).

\(A = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \).

Giải thích

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

1. \({\rm{tan}}\left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

2. Biến đổi phần tử số:

\({\rm{tan}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} - {\rm{sin}}\alpha = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha }} - 1} \right) = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)\)

Thay vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {1 - {\rm{cos}}\alpha } \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha \cdot \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

Rút gọn lượng \({\rm{sin}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) ở cả tử số lẫn mẫu số:

\(A = \frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = \frac{{ - \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = - 1\)

Chọn đáp án: B.