Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\) với x > 0, x ≠ 4 và x ≠ \(\frac{9}{4}\). Tính giá trị nguyên của x để P = \

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ \(\frac{9}{4}\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

Có P = \(\frac{B}{A}\) = \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{4\sqrt x - 6}} = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}\).

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = \frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}\) (vì x > 0 nên \(\sqrt x > 0\)).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}\) nguyên

hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }}\) ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }}\) = 1 khi \(\sqrt x \) = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - 1\) khi \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.