Cho biểu thức A= x căn bậc hai x+ 1/ x-1 - x-1 / căn bậc hai x+ 1

a) Rút gọn biểu thức \[A.\]

 \[A = \frac{{x\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{(\sqrt x  + 1)(x - \sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}} - \frac{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - (\sqrt x  - 1)\]

\[ = \frac{{x - \sqrt x  + 1 - {{(\sqrt x  - 1)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{x - \sqrt x  + 1 - x + 2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\]

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để \[A\] nhận giá trị nguyên.

Ta có: \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\]

Để \[A \in Z\] thì \[\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 \in \] Ư(1) \[ = \left\{ {1; - 1} \right\}\]

+ Nếu \[\sqrt x  - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 4\] (thỏa mãn ĐK).

+ Nếu  \[\sqrt x  - 1 =  - 1 \Leftrightarrow x = 0\] (thỏa mãn ĐK).

Vậy \[x \in \left\{ {0;4} \right\}\] thì \[A\] có giá trị nguyên.