Cho biểu thức A = (x - 7) / căn bậc hai x và B = 1 / (căn bậc hai x

9/17

B. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 9.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:\(A = \frac{{9 - 7}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \(A = \frac{2}{3}\) khi \(x = 9.\)

b) Với \(x > 0,x \ne 4\), ta có:

\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

c) Ta có: \(P = A.B\) với \(x > 0,x \ne 4\).

\(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}.\)

Xét \(P = 0\) thì \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\), suy ra \(x - 7 = 0\) khi \(x = 7\) (thỏa mãn).

Xét \(P \ne 0\), ta có:

TH1: \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ne 7;\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(P \notin \mathbb{Z}\).

TH2. \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ne 7,\,\,\sqrt x \in \mathbb{Z}\), ta có:

\(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).

Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\).

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\), suy ra \(3\,\, \vdots \,\,\left( {\sqrt x + 2} \right)\) hay \(\sqrt x + 2\) là ước của \(3.\)

Vì \(\sqrt x + 2 > 0\) nên \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \left\{ {1;3} \right\}\).

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 = 3\) nên \(\sqrt x = 1\), do đó \(x = 1\) (thỏa mãn).

Vậy với \(x \in \left\{ {1;7} \right\}\) thì \(P\) có giá trị nguyên.