Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\) và \(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\)

\(B = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 16}}\)

\(B = \frac{{x - 4\sqrt x + 4\sqrt x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}\).

Ta có: M = B(A – 1)

               = \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\left[ {\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}} - 1} \right]\)

              = \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x + 4 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)

              = \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{2}{{x - 16}}\).

Để M = B(A – 1) nguyên, x nguyên thì x – 16 là ước của 2.

Mà Ư(2) = {−1; 1; 2; −2}.

• Với x – 16 = −1 thì x = 15 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = 1 thì x = 17 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = −2 thì x = 14 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = 2 thì x = 18 (thỏa mãn).

Kết hợp điều kiện để B(A – 1) nguyên thì x ∈ {14; 15; 17; 18}.