Cho biểu thức A = căn bậc hai x − 2 / căn bậc hai x + 2 và B = căn bậc hai x + 2 / căn bậc hai x − 2 − 3 căn bậc hai x + 2 − 12 /x − 4 với x ≥ 0 , x ≠ 4 .

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] tại \[x = 25\].

Tại \(x = 25\)(thỏa mãn điều kiện xác định)

\[A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt {25}  - 2}}{{\sqrt {25}  + 2}} = \frac{3}{7}\]

Vậy \[A = \frac{3}{7}\] khi \[x = 25\]

b) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\].

Với \[x \ge 0\], \[x \ne 4\].

Ta có : \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4 - 3\sqrt x  + 6 - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\)

c)  Với \[P = A.B\]. Tìm giá trị của \(x\) để \[\left| P \right| > P\].

  Ta có : \[P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\]

Tìm giá trị của \(x\) để \[\left| P \right| > P\]

TH 1: \[P > P\] (vô lí)

TH 2: \( - P > P\) hay \(\frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} > \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( \Rightarrow 1 - \sqrt x  > \sqrt x  - 1 \Leftrightarrow 2 > 2\sqrt x \)

\( \Leftrightarrow 1 > \sqrt x  \Leftrightarrow 1 > x\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \[0 \le x < 1\]