Cho biểu thức A = (căn bậc hai x - 1) / (căn bậc hai x - 3) Và

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x \ge 0,\) ta có:

⦁ \[\sqrt x - 3 \ne 0\] khi \(\sqrt x \ne 3\) hay \(x \ne 9.\)

⦁ \(x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\) và \(1 - \sqrt x = - \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

Với mọi \(x \ge 0,\) ta có \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.\)

Do đó \(x - 1 \ne 0\) khi \(\sqrt x - 1 \ne 0,\) hay \(\sqrt x \ne 1,\) tức là \(x \ne 1.\)

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 9\] và điều kiện xác định của biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 1.\]

b) Thay \[x = \frac{1}{9}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\], ta được:

\[A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 1}}{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} - 3}} = \frac{{ - \frac{2}{3}}}{{ - \frac{8}{3}}} = \frac{1}{4}.\]

Vậy \(A = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)

c) Với \[x \ge 0;x \ne 1\], ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 1}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + 2\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 5 + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + \sqrt x + 6\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\].

Vậy với \[x \ge 0;x \ne 1\] thì \[B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\].

d) Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 1,x \ne 9,\] ta có:

\[P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 9}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}}.\]

⦁ Với \[0 \le x < 9,x \ne 1\] thì \[\sqrt x - 3 < 0\], suy ra \[1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} < 1\] hay \[P < 1.\]

⦁ Với \[x > 9\] và \[x \in \mathbb{N}\] suy ra \[x \ge 10\]. Do đó, \[\sqrt x - 3 \ge \sqrt {10} - 3 > 0\].

Suy ra \[\frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\] nên \[1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\] hay \[P \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 10\].

Vậy với \[x = 10\] thì biểu thức\[P\] đạt giá trị lớn nhất.