Cho biểu thức: A = (căn bậc hai của x − x + 2 căn bậc hai của x + 1) : (căn bậc hai của x / (căn bậc hai của x + 1) − căn bậc hai của x − 4 / (1 − x)) với x ≥ 0, x khác 1, x khác 4. Tính giá

Hướng dẫn giải

Đáp án: −0,5

Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4, ta có:

\(A = \left( {\sqrt x - \frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 4}}{{1 - x}}} \right)\)

    \( = \frac{{x + \sqrt x - x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - \sqrt x + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\).

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với mọi x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4.

Do đó, \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2}\), suy ra \( - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \ge - \frac{3}{2}\)

Từ đó, \(1 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \ge - \frac{1}{2}\) hay A ≥ \( - \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = \( - \frac{1}{2}\) khi x = 0.