Cho biểu thức: A = căn bậc hai của x + 1 / (căn bậc hai của x − 1) + căn bậc hai của x − 1 / (căn bậc hai của x + 1) − 3 căn bậc hai của x + 1 / (x − 1) với x ≥ 0, x khác 1. Hỏi giá trị nhỏ

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

Ta có: \(A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

Vì \(\sqrt x + 1 \ge 1\) với mọi x ≥ 0; x ≠ 1.

Do đó, \(\frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le 3\) suy ra \( - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \ge - 3\).

Từ đó, \(A \ge - 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = −1 khi x = 0.