Cho biểu thức A = căn bậc 2( x)  + 1/ căn bậc 2( x)  + 2 và

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 4\].

Thay \(x = 4\)(thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{{2 + 1}}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\).

Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

\[B = \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = 2AB + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(P = 2AB + \sqrt x  = 2.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \sqrt x  = \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \sqrt x \).

Ta có: \(P - 2 = \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \sqrt x  - 2 = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(P \ge 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\).

Kết luận: \(x = 0\) thì biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.