Cho biểu thức A =( 5x + 1)/( 2x − 3) ⋅ (x + 2)/( 25 x^2 − 1) − (8 − 3x)/( 25x^2 − 1) : (2x − 3)/( 5x + 1) . a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A .

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(25{x^2} - 1 = {\left( {5x} \right)^2} - 1 = \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right).\)

Biểu thức \(A\) xác định khi và chỉ khi \(2x - 3 \ne 0\,;\,\,5x - 1 \ne 0\,;\,\,5x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{3}{2};\,\,x \ne \frac{1}{5};\,\,x \ne  - \frac{1}{5}.\)

b) Với \(x \ne \frac{3}{2};\) \(x \ne \frac{1}{5};\) \(x \ne  - \frac{1}{5}\) ta có:

\(A = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4x - 6}}{{25{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {5x + 1} \right) \cdot 2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Do đó \(A = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Từ \(A \cdot B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}\) suy ra \[B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:A = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:\frac{2}{{5x - 1}} = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}} \cdot \frac{{5x - 1}}{2} = \frac{{x + 2}}{2}.\]

Vậy \(B = \frac{{x + 2}}{2}.\)

c) Thay \(x = \frac{3}{5}\) vào biểu thức \(B = \frac{{x + 2}}{2},\) ta được: \(B = \frac{{\frac{3}{5} + 2}}{2} = \frac{{\frac{{13}}{5}}}{2} = \frac{{13}}{{10}}.\)

Vậy với \(x = \frac{3}{5}\) thì \(B = \frac{{13}}{{10}}.\)