Cho biểu thức A = 3/ (căn bậc hai của x + 3) − 2 ((căn bậc hai của x) − 12)/ (x − 9) + 4/ (căn bậc hai của x − 3).

Đáp án: a) Sai.   b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là:

⦁ Biểu thức chứa \(\sqrt x \) ở tử và mẫu nên điều kiện tồn tại căn là \(x \ge 0\).

⦁ Các mẫu thức \(x - 9\) và \(\sqrt x  - 3\) cần \(x \ne 9\).

Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\).

b) Sai. Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {2\sqrt x  - 12} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{x - 9}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x  - 9 - 2\sqrt x  + 12 + 4\sqrt x  + 12}}{{x - 9}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x  + 15}}{{x - 9}} = \frac{{5\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\).

c) Đúng. Giải phương trình:

\(A = B\)

\(\frac{5}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\)

\(5\left( {\sqrt x  - 2} \right) = 2\left( {\sqrt x  - 3} \right)\)

\(5\sqrt x  - 10 = 2\sqrt x  - 6\)

\(3\sqrt x  = 4\)

\(\sqrt x  = \frac{4}{3}\)

\(x = \frac{{16}}{9}\) (thỏa mãn).

Suy ra \(a = 16,b = 9\) (phân số tối giản).

Vậy tổng \(a + b = 16 + 9 = 25\).

d) Đúng. Giải bất phương trình:

\(A \ge 5\)

\(\frac{5}{{\sqrt x  - 3}} \ge 5\)

\(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} \ge 1\)

\(\frac{{1 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} \ge 0\)

\(\frac{{4 - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} \ge 0\)

Suy ra \(3 < \sqrt x  \le 4\)

            \(9 < x \le 16\).

Vì \(x\) là số nguyên, ta có các nghiệm: \(x \in \left\{ {10;11;12;13;14;15;16} \right\}\).

Tổng cộng có đúng 7 giá trị thoả mãn.