Cho biểu thức A = ( (2x − x^2)/( 2x^2 + 8) − (2x^2/( x^3 − 2x^2 + 4x − 8 ) ⋅ ( 2/ x^2 − (x − 1)/ x ) . a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ⦁ \(2{x^2} + 8 = 2\left( {{x^2} + 4} \right).\)

⦁ \[{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8 = \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {4x - 8} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right) + 4\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\].

Với mọi \(x\) thì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0\) hay \({x^2} + 4 > 0.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là  \(x - 2 \ne 0\) và \(x \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne 0.\)

b) Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(A = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x - 1}}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{2x - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - \frac{{2{x^2}}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}}}} \right]\)

\[ = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{x^2} \cdot 2}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{2 - {x^2} + x}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{2{x^2} - 4x - {x^3} + 2{x^2} - 4{x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - {x^2} + 2x - x + 2}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - 4x - {x^3}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - x\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{2x}}.\]

Vậy với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) thì \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}}.\)

c) Thay \(x = 2\,\,024\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}},\) ta được:

\(A = \frac{{2\,\,024 + 2}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{2\,\,026}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)

Vậy với \(x = 2\,\,024\) thì \(A = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)