Cho biểu thức: A = 15 căn bậc hai của x − 19x + 2 căn bậc hai của x − 3 − 3 căn bậc hai của x − 2 / (1 − căn bậc hai của x − 2 căn bậc hai của x + 3 căn bậc hai của x + 3) với x ≥ 0, x khác
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Với mọi x ≥ 0, ta có điều kiện xác định của biểu thức A là:
• \(x + 2\sqrt x - 3 \ne 0\) hay \(\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\).
Do đó x ≠ 1.
• \(\sqrt x - 1 \ne 0\) suy ra x ≠ 1.
• \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng với x ≥ 0).
Vậy điều kiện xác định của A là x ≥ 0, x ≠ 1.
b) Đúng.
Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:
\(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\)
\( = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\)
Vậy \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1
c) Đúng.
Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1.
Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) nguyên.
Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(19).
d) Sai.
Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.
Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với x ≥ 0, x ≠ 1.
Suy ra \(\sqrt x + 3\) = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).
Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.