Cho biểu thức A = (1/ căn x) + căn x / căn (x+1) : (căn x) / x + căn x với x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của A

Đáp án: 3

Với \(x > 0\), ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)  \[\]

     \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).

Với \(x > 0\), \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)

Vì \(x > 0\), áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay \(A \ge 3\).

Vậy GTNN của \(A = 3\) khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay \(x = 1\).