Cho biểu thức A = 1/ căn bậc hai x + 1 + 1/ x + căn bậc hai x với x là số thực dương.

a) Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{1}{{\sqrt 1 + 1}} + \frac{1}{{1 + \sqrt 1 }} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).

Vậy khi \(x = 1\) thì \(A = 1\).

b) Với \(x > 0\), ta có: \(A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

                                     \( = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

                                     \( = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

                                     \( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt x }}\).

Vậy \(A = \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).

c) Với mọi số thực dương \(x\), ta xét hiệu sau: \(\left( {x + 1} \right).A - 2 = \left( {x + 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x }} - 2 = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\)

Vì \(x > 0\) nên \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(\sqrt x > 0\), suy ra \(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} \ge 0\).

Do đó \(\left( {x + 1} \right).A - 2 \ge 0\), hay \(\left( {x + 1} \right).A \ge 2\).

Vậy với mọi số thực dương \(x\) thì \(\left( {x + 1} \right)A \ge 2\).