Cho biểu thức: A = (1 / (căn bậc hai của x + căn bậc hai của x / (căn bậc hai của x + 1))) : (căn bậc hai của x / (x + căn bậc hai của x)) với x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của A.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Với x > 0, ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)    \[\]

     \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).

Với x > 0, \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)

Vì x > 0, áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay A ≥ 3.

Vậy GTNN của A = 3 khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay x = 1.