Cho biểu thức A = (1 − 2sin alpha cos alpha)/(sin^2 alpha − cos^2 alpha) với alpha ≠ 45 độ. Biết sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1, khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.            c) Sai.             d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = \left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\).

b) Sai.

Ta có: 1 – 2sinαcosα = sin²α – 2sinαcosα + cos²α = (sinα − cosα)².

c) Sai.

Ta có: \(A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\).

d) Đúng.

Có \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}\), suy ra cosα = 3sinα.

Ta có: \(A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 3\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - 2\sin \alpha }} = - 2\).

Do đó, với \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\) thì giá trị của A < 0.