Cho biểu thức 2/(x^2−y^2) căn((3x^2+6xy+3y^2)/4) (với x + y > 0) (a) Rút gọn biểu thức; (b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

a) Rút gọn biểu thức:

Với x + y > 0

Ta có:

\[\frac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\frac{{3{x^2} + 6xy + 3{y^2}}}{4}} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {3.\left( {\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{4}} \right)} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} \cdot \sqrt 3 .\sqrt {\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{4}} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} \cdot \sqrt 3 .\sqrt {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{2^2}}}} \]

\[ = \frac{2}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + y} \right)}}{2} \cdot \sqrt 3 \]

\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{{x - y}}\]

Vậy biểu thức rút gọn là \[\frac{{\sqrt 3 }}{{x - y}}\]

b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

Thay x = 1 và y = 2 vào biểu thức vừa rút gọn

\[\frac{{\sqrt 3 }}{{1 - 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}} = - \sqrt 3 \]

Vậy giá trị của biểu thức tại x = 1 và y = 2 là \[ - \sqrt 3 \]