Cho biết I =1 / x^2 ( x+ 1 ) ^2 dx = a/x + b / x+ 1

19/22

Cho biết \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{{x + 1}} - c\ln \left| x \right| + d\ln \left| {x + 1} \right| + C\), với \[a,\,b,\,c,\,d\] là số nguyên. Tính \[S = a + b - c + d\].

Giải thích

Ta có \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)

\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \]\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right]{\rm{d}}x} \]

\[ = - \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} - 2\ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\].

Đối chiếu yêu cầu bài toán ta có \[a = - 1;\,b = - 1;\,c = 2;\,d = 2\], suy ra \[S = a + b - c + d = - 2\].

Chú ý: \[\int {\frac{1}{{ax + b}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].

\[\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C\]