Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử
Phương pháp giải:
Sử dụng mô hình tứ diện đều ABCD cạnh \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện (vị trí nguyên tử \(C\)). Tính góc \(\widehat {HCH}\) (ví dụ \(\widehat {AGB}\)) bằng cách sử dụng định lý hàm số cosin hoặc phương pháp vectơ trong tam giác
Giải chi tiết:
Xét tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tứ diện.
Theo tính chất trọng tâm tứ diện đều, khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh là:
\[R = AG = BG = CG = DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]
Xét tam giác GAB, ta có các cạnh: \(GA = GB = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) và \(AB = a\).
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác GAB:
\[\cos (\widehat {AGB}) = \frac{{G{A^2} + G{B^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot GA \cdot GB}}\]
\[\cos (\widehat {AGB}) = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{\frac{{6{a^2}}}{{16}} + \frac{{6{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{\frac{{12{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{\frac{{12{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{\frac{{12{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{ - 4{a^2}}}{{12{a^2}}} = - \frac{1}{3}\]Suy ra
Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu:
Đáp án cần điền là: 109,5