Cho bất phương trình: (x - 29)/1970 + (x - 27)/1972 + (x - 25)/1974 > (x - 1970)/29 + (x - 1972)/27 + (x - 1974)/25. Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1998

Ta có: \(\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}}\)

           \(\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 3 > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 3\)      \(\frac{{x - 29}}{{1970}} - 1 + \frac{{x - 27}}{{1972}} - 1 + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 1 > \frac{{x - 1970}}{{29}} - 1 + \frac{{x - 1972}}{{27}} - 1 + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 1\)

\(\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} > \frac{{x - 1999}}{{29}} + \frac{{x - 1999}}{{27}} + \frac{{x - 1999}}{{25}}\)

\(\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} - \frac{{x - 1999}}{{29}} - \frac{{x - 1999}}{{27}} - \frac{{x - 1999}}{{25}} > 0\)

\(\left( {x - 1999} \right)\left( {\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}}} \right) > 0\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}} < 0\)

Do đó, x – 1999 < 0

            x < 1999.

Suy ra, nghiệm của bất phương trình là x < 1999.

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 1998.