Cho bất phương trình: (x + 2004)/2005 + (x + 2005)/2006 < (x + 2006)/2007 + (x + 2007)/2008. Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: \(\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\)

           \(\frac{{x + 2004}}{{2005}} - 1 + \frac{{x + 2005}}{{2006}} - 1 < \frac{{x + 2006}}{{2007}} - 1 + \frac{{x + 2007}}{{2008}} - 1\)

         \(\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} < \frac{{x - 1}}{{2007}} + \frac{{x - 1}}{{2008}}\)

         \(\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} - \frac{{x - 1}}{{2007}} - \frac{{x - 1}}{{2008}} < 0\)

         \(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}}} \right) < 0\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0\) nên x – 1 < 0 hay x < 1.

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 0.