Cho bất phương trình: (x + 1)/99 + (x + 3)/97 + (x + 5)/95 < (x + 2)/98 + (x + 4)/96 + (x + 6)/94. Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −99.

Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 5}}{{95}} < \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 4}}{{96}} + \frac{{x + 6}}{{94}}\)

           \(\frac{{x + 1}}{{99}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{97}} + 1 + \frac{{x + 5}}{{95}} + 1 < \frac{{x + 2}}{{98}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{96}} + 1 + \frac{{x + 6}}{{94}} + 1\)

           \(\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} < \frac{{x + 100}}{{98}} + \frac{{x + 100}}{{96}} + \frac{{x + 100}}{{94}}\)

           \(\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} - \frac{{x + 100}}{{98}} - \frac{{x + 100}}{{96}} - \frac{{x + 100}}{{94}} < 0\)

           \(\left( {x + 100} \right)\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}}} \right) < 0\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}} < 0\) nên x + 100 > 0 hay x > −100.

Do đó, số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là −99.