Cho bất phương trình mũ: (1/3)^(x^2 − 5x + 4)^(x − 2) ≥ 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.            c) Sai.                 d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

b) Sai. Ta có: \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}\) ≥ 1 ⇔ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}\) ≥ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^0}\)

⇔ \(\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}\) ≤ 0 (do 0 < \(\frac{1}{3}\) < 1)

c) Sai. Theo câu b), ta có: \(\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}\) ≤ 0 ⇔ \(\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}\) ≤ 0

Gọi f(x) = \(\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}\) ≤ 0 với x ≠ 2, ta có:

⇒ f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc 2 < x ≤ 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (\( - \infty \); 1] ∪ (2; 4].

d) Đúng. Theo câu c, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (\( - \infty \); 1] ∪ (2; 4]

⇒ Các số nguyên dương thuộc tập nghiệm là: x = 1; x = 3; x = 4

Vậy bất phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương.