Cho bất phương trình log3(x^2 + 2x + 3) – log3(x^2 + 1) ≥ log3m (với m là tham số thực). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.\) (*)

Ta có: x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0; x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ (*) ⇔ m > 0.

Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.

b) Đúng. Ta có: log₃(x² + 2x + 3) – log₃(x² + 1) ≥ log₃m

⇔ \({\log _3}\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ log₃m. Vì a = 3 > 1

⇒ \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

c) Đúng. Đặt y = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ⇔ y(x² + 1) = x² + 2x + 3

⇔ yx² + y = x² + 2x + 3 ⇔ yx² – x² – 2x + y – 3 = 0

⇔ (y – 1)x² – 2x + (y – 3) = 0 (1)

*TH1: y – 1 = 0 ⇔ y = 1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ⇔ 0 ⋅ x² – 2x + (1 – 3) = 0 ⇔ –2x – 2 = 0 ⇔ x = –1

*TH2: y – 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1

Phương trình có nghiệm ⇔△' ≥ 0 ⇔ (–1)² – (y – 1)(y – 3) ≥ 0

⇔ –y² + 4y – 2 ≥ 0 ⇔ 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 + \(\sqrt 2 \).

Vì 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 +\(\sqrt 2 \) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 2 – \(\sqrt 2 \).

d) Đúng. Theo câu b), ta có \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

Mà f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) nên để bất phương trình đúng với mọi x ∈ ℝ ⇒ m ≤ f(x), ∀x.

⇔ m ≤ f_min. Mà f_min = 2 – \(\sqrt 2 \) ⇒ m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \) .

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \).