Cho bất phương trình log0,5(x + 1)^2 ≤ log0,52x, có tập nghiệm là S = (a; b). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{(x + 1)^2} > 0\\2x > 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x > 0\end{array} \right.\) ⇔ x > 0

Ta có: log_0,5(x + 1)² ≤ log_0,52x. Vì 0 < a = 0,5 < 1

⇒ (x + 1)² ≥ 2x ⇔ x² + 2x + 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x² + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Vây tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; \( + \infty \)) ⇒ a = 0.

b) Đúng. Theo câu a), S = (0; \( + \infty \))

⇒ (a; b) ∩ (3; 2024) = (0; \( + \infty \)) ∩ (3; 2024) = (3; 2024).

c) Sai. Vì với a = 0 ⇒ P = 0² + 3 ⋅ 0 + 5 = 5 ≠ 2.

d) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^3}}}\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{x}} \right)\) = 0 + 0 + 0 = 0

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\) = 0.