Cho bất phương trình: log cơ số 1/10 của (x^2 − 5x + 7) ≥ 0, có tập nghiệm là S = [a; b]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x² – 5x + 7 > 0 ⇔ \({\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\) > \(\frac{3}{4}\) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ x ∈ ℝ

b) Đúng. Ta có: \({\log _{\frac{1}{{10}}}}({x^2} - 5x + 7)\) ≥ 0. Vì 0 < a = \(\frac{1}{{10}}\) < 1

⇒ x² – 5x + 7 ≤ \({\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^0}\) ⇔ x² – 5x + 7 ≤ 1 ⇔ x² – 5x + 6 ≤ 0.

⇒ Bất phương trình có chung tập nghiệm với x² – 5x + 6 ≤ 0.

c) Sai. Theo câu b), bất phương trình ⇔ x² – 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp với điều kiện theo câu a), suy ra nghiệm của bất phương trình là 2 ≤ x ≤ 3

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; 3] ⇒ a = 2; b = 3

Ta có: 3 số a; b; 5 lập thành cấp số cộng ⇔ 2b = a + 5

Mà 2 ⋅ 3 ≠ 2 + 5 (do 6 ≠ 7) ⇒ a; b; 5 không là một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: [a; b] ∪ (2; 9) = [2; 3] ∪ (2; 9) = [2; 9).