Cho bất phương trình 25^x – 6 ⋅ 5^x + 5 ≥ 0 (1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Thay x = \(\frac{1}{2}\) vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

\({25^{\frac{1}{2}}}\) – 6 ⋅ \({5^{\frac{1}{2}}}\) + 5 = \(\sqrt {25} \) – 6\(\sqrt 5 \) + 5 = 5 – 6\(\sqrt 5 \) + 5 = 10 – 6\(\sqrt 5 \)

Vì 10 = \(\sqrt {100} \) < 6\(\sqrt 5 \) = \(\sqrt {180} \) ⇒ 10 – 6\(\sqrt 5 \) < 0. Do đó, mệnh đề sai.

b) Đúng. Thay x = –1 vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

25^–1 – 6 ⋅ 5^–1 + 5 = \(\frac{1}{{25}}\) – \(\frac{6}{5}\) + 5 = \(\frac{{96}}{{25}}\) > 0

Vậy x = –1 là một nghiệm của bất phương trình (1).

c) Đúng. Ta có: 25^x – 6 ⋅ 5^x + 5 ≥ 0 ⇔ (5²)^x – 6 ⋅ 5^x + 5 ≥ 0.

Với t = 5^x (t > 0) ⇒ (1) trở thành t² – 6t + 5 ≥ 0.

d) Đúng. Theo câu c), ta có: t² – 6t + 5 ≥ 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.\); kết hợp với điều kiện t > 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}0 < t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.\)

- Với t ≤ 1 ⇒ 5^x ≤ 5⁰ ⇔ x ≤ 0.

- Với t ≥ 5 ⇒ 5^x ≥ 5¹ ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (–\(\infty \); 0] ∪ [1; \( + \infty \)).