Cho bất phương trình 2 log 2 3 x − ( 2 a + √ 2 ) log 3 x + √ 2 a < 0 . Gọi S là tập hợp các số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a bất phương trình trên có nghiệm nguyên x và số ngh

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _3}x\), bất phương trình trở thành \(2{t^2} - \left( {2a + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 a < 0\) \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(2{t^2} - \left( {2a + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a\\t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\).

Do \(a \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( 1 \right)\) có nghiệm là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} < t < a\).

Suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} < {\log _3}x < a\)\[ \Leftrightarrow {3^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} < x < {3^a}\].

Ứng với mỗi \(a\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá \(10\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\{3^a} \le 13\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < a \le {\log _3}13\].

Mà \(a \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow a = 2 \Rightarrow S = \left\{ 2 \right\}\).

Vậy tập \(S\) có 1 số phần tử.