Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \[OAB\] vuông tại \[O\] ta có:

\[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\] \[ \Rightarrow AB = a\sqrt 2 \].

Hoàn toàn tương tự ta tính được \[BC = AC = a\sqrt 2 \].

 

\[ \Rightarrow \Delta ABC\] là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết \[OA = OB = OC = a\] \[ \Rightarrow \] các mặt bên của hình chóp \[O.ABC\] là các tam giác cân tại \[O\] \[ \Rightarrow O.ABC\] là hình chóp đều \[ \Rightarrow \] đáp án a đúng.

+ Chu vi \[\Delta ABC\] là: \[2p = AB + AC + BC = a\sqrt 2  + a\sqrt 2  + a\sqrt 2  = 3a\sqrt 2 \] \[ \Rightarrow \] đáp án c sai.

+ Nửa chu vi Diện tích \[\Delta ABC\] là: \[p = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]. Diện tích \[\Delta ABC\] là:

\[S = \sqrt {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}{{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} - a\sqrt 2 } \right)}^3}}  = \sqrt {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}}  = \sqrt {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{8}}  = \sqrt {\frac{{3{a^4}}}{4}}  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\] (đvdt).

\[ \Rightarrow \] đáp án b đúng.

+ Dễ chứng minh được \[\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\OA \subset \left( {OAB} \right)\\OA \subset \left( {OAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {OAB} \right) \bot \left( {OBC} \right)\\\left( {OAC} \right) \bot \left( {OBC} \right)\end{array} \right.\], \[\left\{ \begin{array}{l}OB \bot \left( {OAC} \right)\\OB \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OAB} \right) \bot \left( {OAC} \right)\].

\[ \Rightarrow \] đáp án d đúng.