Cho ba số x , y , z thỏa mãn: x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + xz và x + y + z = − 3. Tính giá trị biểu thức: B = x^2022 + y^2023 + z^2024 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = xy + yz + xz\]

\[2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 2\left( {xy + yz + xz} \right)\]
\[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2xz = 0\]

\[\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2xz + {x^2}} \right) = 0\]

\[{\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = 0\]

 Vì \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}\] nên

 \[{\left( {x - y} \right)^2} + \,{\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}\].

Để \[{\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = 0\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} = 0\\\,{\left( {y - z} \right)^2} = 0\\{\left( {z - x} \right)^2} = 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = z\\z = x\end{array} \right.,\] hay \(x = y = z.\)

Từ đó ta có \(x + y + z =  - 3\) và \(x = y = z\) suy ra \(x = y = z =  - 1\).

Do đó \[B = {x^{2022}} + {y^{2023}} + {z^{2024}}\]

\[ = {\left( { - 1} \right)^{2022}} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} + {\left( { - 1} \right)^{2024}}\]

\[ = 1 + \left( { - 1} \right) + 1 =  - 1\].

Vậy \[B = {x^{2022}} + {y^{2023}} + {z^{2024}} =  - 1\].