Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Tính giá trị của biểu thức P = x^2/(y^2 + z^2 - x^2) + y^2/(z^2 + x^2 - y^2) + z^2/(x^2 + y^2 - z^2) (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Đáp án: –1,5.

Từ \(x + y + z = 0\), ta có \(y + z =  - x\).

Bình phương hai vế ta được \({y^2} + 2yz + {z^2} = {x^2}\), do đó: \({y^2} + {z^2} - {x^2} =  - 2yz\)

Tương tự, ta có:

\({z^2} + {x^2} - {y^2} =  - 2zx\);

\({x^2} + {y^2} - {z^2} =  - 2xy\).

Thay vào biểu thức \(P\), ta có:

\(P = \frac{{{x^2}}}{{ - 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{ - 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{ - 2xy}} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{ - 2xyz}}\).

Vì \(x + y + z = 0\) nên \(y + z =  - x\).

Lập phương hai vế ta được

\({\left( {y + z} \right)^3} =  - {x^3}\)

\({y^3} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + {z^3} =  - {x^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3{y^2}z - 3y{z^2}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3yz\left( {y + z} \right)\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3yz \cdot \left( { - x} \right)\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

Thay vào \(P\), ta được: \(P = \frac{{3xyz}}{{ - 2xyz}} =  - \frac{3}{2} =  - 1,5.\)