Cho ba số x, y, z  không âm và x^2 + y^2 + z^2 nhỏ hơn bằng 3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1/(x+1)^2 + 4/ (y + 2)^2 + 8/(z + 3)^2

Theo bất  đẳng thức Cô Si ta có:

(x2+1)+(y2+4)+(z2+1)≥2x+4y+2z⇒3y+6≥2x+4y+2z (vì (x2+y2+z2≤3y)

⇒6≥2x+y+2z

Với hai số a, b > 0 chứng minh được 1a2+1b2≥8(a+b)2

Do đó: 

P=1(x+1)2+1(y2+1)2+8(z+3)2≥8(x+1+y2+1)2+8(z+3)2≥64.4(2x+y+2z+10)2≥256(6+10)2=1

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1

Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1