Cho ba số thực x , y ,z thuộc [ 5;7] chứng minh rằng

Do \(x,{\rm{ }}y \in \left[ {5;7} \right] \Rightarrow \left| {x - y} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \le 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 4\left( {xy + 1} \right) \Leftrightarrow x + y \le 2\sqrt {xy + 1} \)

Chứng minh tương tự ta có:

                                      \(y + z \le 2\sqrt {yz + 1} ;\)\(z + x \le 2\sqrt {zx + 1} \)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có

\[2\left( {x + y + z} \right) \le 2\left( {\sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx} } \right)\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx + 1} \ge x + y + z\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\,\\\left| {y - z} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\\\left| {z - x} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\left( 1 \right)\)

Vì \(x \ne y \ne z\) nên giả sử \(x > y > z.\)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\y - z = 2\\x - z = 2\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - z = 4\\x - z = 2\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

Vậy \(\sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx + 1} > x + y + z.\)