Cho ba số thực \(x,y,z lớn hơn bằng 0\) thỏa mãn \[{2^x} + {4^y} + {8^z} = 4.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \ge a + b - 1\) với \(a,b \ge 1\) và mở rộng cho nhiều biến.

Giải chi tiết:

Với \(a,b \ge 1\) ta có:

                                             \[(a - 1)(b - 1) \ge 0 \Leftrightarrow ab \ge a + b - 1.\]

Mở rộng cho ba số \(a,b,c \ge 1\):

                                                        \[abc \ge (a + b - 1)c \ge a + b + c - 2.\]

Vì \(x,y,z \ge 0\) nên:

                                                              \[{2^x},\;{4^y},\;{8^z} \ge 1.\]

Áp dụng bất đẳng thức trên:

                   \[{2^x} \cdot {4^y} \cdot {8^z} \ge {2^x} + {4^y} + {8^z} - 2 = 4 - 2 = 2.\]

Suy ra:

                                      \[{2^{x + 2y + 3z}} \ge 2 \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge 1.\]

Do đó:

                                                 \[P = \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) thuộc khoảng: \[\left( {0;\frac{1}{3}} \right).\]

Chọn A.