Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a + 2b + c

Ta có a+2b+c≥4(1−a)(1−b)(1−c)⇒a+2b+c≥4(b+c)(a+c)(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

a+b+b+c≥2(a+b)(b+c)⇒(a+2b+c)2≥4(a+b)(b+c)⇒(a+2b+c)2(a+c)≥4(a+b)(b+c)(a+c) 

Áp dụng bất đẳng thức cô si

a+2b+c+a+c2≥(a+2b+c)(a+c)⇒2(a+b+c)2≥(a+2b+c)(a+c)⇒1≥(a+2b+c)(a+c) ⇒1≥(a+2b+c)(a+c)⇒a+2b+c≥(a+2b+c)2(a+c)

⇒a+2b+c≥4(a+b)(a+c)(b+c)