Cho ba số thực dương \(x,y,z\)thỏa mãn \(xy + yz + zx = xyz\).

Theo đề ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a\), \(\frac{1}{y} = b\), \(\frac{1}{z} = c\)\(\left( {a,b,c > 0} \right)\)\( \Rightarrow a + b + c = 1\)

Khi đó \[H = \frac{c}{{9{a^2} + 1}} + \frac{a}{{9{b^2} + 1}} + \frac{b}{{9{c^2} + 1}}\]

Ta có: \[\frac{c}{{9{a^2} + 1}} \le \frac{{c\left( {9{a^2} + 1} \right) - 9{a^2}c}}{{9{a^2} + 1}} = c - \frac{{9{a^2}c}}{{9{a^2} + 1}}\]

Vì \[9{a^2} + 1 \ge 6a \Rightarrow c - \frac{{9{a^2}c}}{{9{a^2} + 1}} \ge c - \frac{{9{a^2}c}}{{6a}} = c - \frac{3}{2}ac\]

Chứng minh tương tự ta có: \[\frac{a}{{9{b^2} + 1}} \ge a - \frac{3}{2}ba\]; \[\frac{b}{{9{c^2} + 1}} \ge b - \frac{3}{2}cb\]

\[ \Rightarrow H \ge a + b + c - \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

Mà \[ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\]

\[ \Rightarrow H \ge 1 - \frac{3}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\]

Vậy \[{H_{\min }} = \frac{1}{2}\]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 3\].