Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + 2y + 3z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Giải thích
Đặt a=x; b=2y; c=3z , ta được: a,b,c>0; a+b+c=2.
Khi đó: S=abab+2c+bcbc+2a+acac+2b .
Xét abab+2c=abab+a+b+cc=aba+cb+c≤12aa+c+bb+c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aa+c=bb+c.
Tương tự ta có: bcbc+2a ≤12bb+a+cc+a ;acac+2b≤12aa+b+cc+b.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bb+a=cc+a; aa+b=cc+b.
Cộng các vế ta được: S≤12a+ba+b+b+cb+c+a+ca+c=32.
Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 32 khi và chỉ khi a=b=c=23 hay giá trị lớn nhất của S bằng 32 khi và chỉ khi x=23; y=13; z=29.