Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn a ( a − c ) + b ( b − c ) ≥ 0

Với hai số dương

 \(x,\,y\) ta có \({\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} \ge 0\) suy ra \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (*)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

 \(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {c^2}}} = a - \frac{{a.{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} \ge a - \frac{{a.{c^2}}}{{2ac}} = a - \frac{c}{2}\)                (1)

Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} \ge b - \frac{c}{2}\)          (2)

Từ giả thiết \(a\left( {a - c} \right) + b\left( {b - c} \right) \ge 0\) suy ra \({a^2} + {b^2} \ge c\left( {a + b} \right)\)

\(\frac{{{a^2} + {b^2} + 2025}}{{a + b}} \ge c + \frac{{2025}}{{a + b}}\)                                                (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(S \ge a + b + \frac{{2025}}{{a + b}}\)

Ta có \(a + b + \frac{{2025}}{{a + b}} \ge 90\)

Suy ra \(S \ge 90\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{{45}}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S\) bằng \(90\) khi \(a = b = c = \frac{{45}}{2}\).