Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

Đặt x=a2−bc,y=b2−ca,z=c2−ab

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x3+y3+z3≥3xyz

Ta có:

x3+y3+z3−3xyz=x3+y3−3xyz+z3=x+y3−3xyx+y−3xyz+z3=x+y3+z3−3xyx+y+z=x+y+zx+y2−x+yz+z2−3xyx+y+z=x+y+zx2+2xy+y2−xz−yz+z2−3xy=x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−xz

Dễ thấy

x2+y2+z2−xy−yz−xz=12x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2zx+x2=12x−y2+y−z2+z−x2≥0∀x,y,z

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z 

Ta có: 

x+y+z=a2−bc+b2−ca+c2−ab

=a2+b2+c2−ab−bc−ca=12a−b2+b−c2+c−a2≥0,∀a,b,c

Suy ra x+y+z≥0⇒x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−zx≥0

⇒x3+y3+z3≥3xyz

hay a2−bc3+b2−ca3+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab(dfcm)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  a=b=c