Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng

Đặt a=1x,b=1y,c=1z

Ta được đẳng thức điều kiện là:

1a+1b+1c=aabc⇔bc+ca+ab=1(1)

Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:

1+b21+c2+1+c21+a2+1+a21+b2=(b+c)1+a2+(c+a)1+b2+(a+b)1+c2

Nhận xét rằng:

1+a2=bc+ca+a2=(a+b)(a+c)1+b2=bc+ca+ab+b2=b+cb+a1+c2=bc+ca+ab+c2=c+bc+a

Từ đó suy ra:

1+b21+c2=(b+c)(b+a)(c+a)=(b+c)1+a2(2)

Tương tự, ta có:

1+c21+a2=(c+a)1+b2(3)1+a21+b2=(a+b)1+c2(4)

Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.