Cho ba số a,b,c đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức: S = 2/(a - b) +2/(b - c)+2/(c - a) + ((a - b}^2 +(b - c}^2 + (c - a)^2)/((a - b)(b - c)(c - a))

Hướng dẫn giải

Đặt \(a - b = x,\,\,b - c = y,\,\,c - a = z.\) Khi đó \(x + y + z = 0.\)

Ta có \(S = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}} + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

 \( = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} + \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}\)

 \( = \frac{{2yz + 2xz + 2zy + {x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}\)

 \( = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xyz}} = \frac{0}{{xyz}} = 0.\)

Vậy \(S = 0.\)