Cho ba số 1/(b + c), 1/(c + a), 1/(a + b) theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Do ba số \(\frac{1}{{b + c}},\,\frac{1}{{c + a}},\,\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(\frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{{b + c + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{{2b + c + a}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}\)

⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)

⇔ 2ab + 2ac + 2b² + 2bc = 2bc + c² + ca + 2ab + ac + a²

⇔ 2b² = a² + c²

⇔ b² – a² = c² – b².

Suy ra ba số a², b², c² theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.