Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng

Gọi O1​, O2​, O3​ lần lượt là tâm của 3 mặt cầu và A, B, C lần lượt là hình chiếu của 3 tâm trên mặt phẳng (α) đã cho.

Không mất tính tổng quát, gọi bán kính của 3 mặt cầu lần lượt là R1​, R2​, R3​.

Dễ thấy \({O_1}A \bot (\alpha ),{O_2}B \bot (\alpha ),{O_3}C \bot (\alpha ){\rm{ v\`a  }}{O_1}A = {R_1},{O_2}B = {R_2},{O_3}C = {R_3}{\rm{. }}\)

Xét hình thang vuông O1ABO2 vuông tại A và B.

Từ \({O_2}\) kẻ \({O_2}H \bot A{O_1}\)

Suy ra \(AH = {R_2},{O_1}H = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|,{O_2}H = AB,{O_1}{O_2} = {R_1} + {R_2}\)

Xét tam giác vuông \({O_1}{O_2}H\) ta có \({O_1}O_2^2 = {O_1}{H^2} + A{B^2}\) hay \({\left( {{R_1} + {R_2}} \right)^2} = {\left( {{R_1} - {R_2}} \right)^2} + A{B^2}\).

Suy ra \({R_1}.{R_2} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).

Tương tự \({R_2}.{R_3} = \frac{{B{C^2}}}{4},{R_1}.{R_3} = \frac{{A{C^2}}}{4}\).

Do đó \[{\left( {{R_1}.{R_2}.{R_3}} \right)^2} = \frac{{{3^2}{{.2}^2}{{.4}^2}}}{{4.4.4}} = 9{\rm{ hay }}{R_1}.{R_2}.{R_3} = 3.{\rm{ }}\]