Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’

a) Ta có: AB = AC’ + BC’ = 10 + 15 = 25 cm;

               AC = AB’ + CB’ = 10 + 15 = 25 cm.

Do đó AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Mặt khác, BA’ = CA’ = 15 cm nên A’nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên AA’ vuông góc với BC tại điểm A’ nằm trên cả hai đường tròn (B) và (C).

Vậy AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Gọi H là giao điểm của AA’và B’C’.

Xét ∆ABA’ vuông tại A’, theo định lí Pythagore, ta có: AB² = A’A² + A’B²

Suy ra A'A=AB2−A'B2=252−152=400=20  cm.

Ta có: BC= BA’ + CA’ = 15 + 15 = 30 cm.

Tam giác ABC có AC'AB=1025=25 và AB'AC=1025=25

Suy ra AC'AB=AB'AC nên B’C’ // BC (định lí Thalès đảo)

Do đó, B'C'BC=AB'AC=25 (hệ quả định lí Thalès)

Nên B'C'=25⋅BC=25⋅30=12  cm.

Tam giác ACA’ có HB’ // CA’ nên AHAA'=AB'AC=25 (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra AH=25⋅AA'=25⋅20=8  cm.

Ta có AA’ ⊥ BC và B’C’ // BC nên AH ⊥ B’C’.

Vậy diện tích tam giác AB’C’ là: 12⋅AH⋅B'C'=12⋅8⋅12=48 (cm2).