Cho ba điểm A(3;1;0), B(2;1;-1), C(x;y;-1). Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Phương pháp giải

Tam giác ABC vuông cân tại A nên\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} ,}\\{AB = AC.}\end{array}} \right.\) từ đó tìm tọa độ C.

Giải chi tiết

\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;0; - 1) \Rightarrow A{B^2} = 2,\qquad \overrightarrow {AC} = (x - 3;{\mkern 1mu} y - 1;{\mkern 1mu} - 1) \Rightarrow AC = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y - 1)}^2} + 1} .\)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0,}\\{A{C^2} = A{B^2}.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1(x - 3) + 0(y - 1) + 1 = 0,}\\{{{(x - 3)}^2} + {{(y - 1)}^2} + 1 = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4,}\\{{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4,}\\{y = 1.}\end{array}} \right.\)

Vậy C(4;1;-1).

Đáp án cần chọn là: B