Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y; z) thỏa mãn MA^2 = MB^2 + MC^2 thì M thuộc một mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

MA² = MB² + MC²

Û (x – 1)² + y² + z² = x² + (y – 2)² + z² + x² + y² + (z – 3)²

Û x² – 2x + 1 + y² + z² = x² + y² – 4y + 4 + z² + x² + y² + z² – 6z + 9

Û x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9 – 2 = 0

Û (x + 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 2.

Do đó M luôn thuộc vào mặt cầu S với tâm I(−1; 2; 3) và \(R = \sqrt 2 \).